数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

Hessian の変換則

命題 2.2（「Morse 理論」§2）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を $f$ の臨界点、 $(U,x)$ 、 $(V,y)$ を $p$ のまわりのチャートとし、 $J$ を座標変換 $x\circ y^{-1}$ の $y(p)$ における Jacobi 行列とする。このとき

H_y(p)=J^{\mathsf{T}}H_x(p)\,J

が成り立つ。したがって非退化性と指数はチャートの取り方によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル
- 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
  - 滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
- 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論
Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論