数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

Morse の補題

定理 3.2（「Morse 理論」§3）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を $f$ の非退化臨界点、指数を $\lambda$ とする。 $p$ のまわりのチャート $(U,u)$ 、 $u(p)=0$ で、 $U$ 上

f=f(p)-u_1^2-\cdots-u_\lambda^2+u_{\lambda+1}^2+\cdots+u_n^2

となるものが存在する（Morse チャート）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Taylor の積分形（2 次）✓補題 3.1・Morse 理論
逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論
- 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

臨界点の通過と胞体の接着✓定理 6.1・Morse 理論
Reeb の球面定理✓定理 8.3・Morse 理論
臨界点が 2 つの Morse 関数をもつ閉多様体はねじれ球面✓命題 2.7・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術