数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

Taylor の積分形（2 次）

補題 3.1（「Morse 理論」§3） ・ ✓公理まで証明済み

B⊂RnB\subset\mathbb{R}^n を原点を中心とする開球、g ⁣:B→Rg\colon B\to\mathbb{R} を滑らかな関数とする。hij(x)=∫01(1−t) ∂i∂jg(tx) dth_{ij}(x)=\int_0^1(1-t)\,\partial_i\partial_jg(tx)\,dt とおくと、hijh_{ij} は BB 上で滑らか、hij=hjih_{ij}=h_{ji}、hij(0)=12∂i∂jg(0)h_{ij}(0)=\tfrac12\partial_i\partial_jg(0) であり、

g(x)=g(0)+∑i∂ig(0) xi+∑i,jxixj hij(x)(x∈B).g(x)=g(0)+\sum_i\partial_ig(0)\,x_i+\sum_{i,j}x_ix_j\,h_{ij}(x)\qquad(x\in B).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件