臨界点の通過と胞体の接着

定理 6.1（「Morse 理論」§6）・ ✓公理まで証明済み

$c\in\mathbb{R}$ 、 $\varepsilon_0>0$ とし、 $f^{-1}([c-\varepsilon_0,c+\varepsilon_0])$ がコンパクトで、そこに含まれる $f$ の臨界点が $p_1,\dots,p_k$ だけであり、いずれも非退化で $f(p_i)=c$ 、指数 $\lambda_i$ とする。このとき十分小さいすべての $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ について、互いに交わらない部分集合 $e_1,\dots,e_k\subset M$ と同相写像 $h_i\colon D^{\lambda_i}\to e_i$ で

e_i\cap M^{c-\varepsilon}=h_i(S^{\lambda_i-1})\quad(\lambda_i=0\text{ のときは空集合})

となるものがあり、 $M^{c-\varepsilon}\cup e_1\cup\cdots\cup e_k$ は $M^{c+\varepsilon}$ の変位レトラクトである。とくに包含はホモトピー同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 98 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論
- Taylor の積分形（2 次）✓補題 3.1・Morse 理論
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論
  - 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
    直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間この先をたどる →
滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
- コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間
  - LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間
    コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
    縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性（上で展開済み）
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - 変位レトラクト定義 2.6・基本群と被覆空間
貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性
- 連続性の同値条件✓定理 3.3・連続写像と同相写像
  - 点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像

これを使っている定理証明で参照している 2 件

0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる✓系 5.9・ハンドル分解と手術
Heegaard 分解の存在✓定理 8.1・ハンドル分解と手術

臨界点の通過と胞体の接着

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件