連続性の同値条件
, を位相空間、 を写像とします。次の 4 条件は同値です。
- (i) 任意の開集合 に対し は の開集合である（すなわち は連続である）。
- (ii) 任意の閉集合 に対し は の閉集合である。
- (iii) は のすべての点で 定義 3.2 の意味で連続である。
- (iv) 任意の部分集合 に対し が成り立つ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像
これを使っている定理 証明で参照している 4 件
- 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性
- 第一可算 ⇒ Fréchet–Urysohn ⇒ 点列空間✓命題 2.2・可算性・点列・可算コンパクト性
- Stone–Čech コンパクト化の存在と普遍性✓定理 5.2・完全正則空間と埋め込み定理
- 有界連続関数の延長✓系 5.3・完全正則空間と埋め込み定理