有界連続関数の延長

系 5.3（「完全正則空間と埋め込み定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を Tychonoff 空間とする。有界連続関数全体を $C_b(X)$ とすると、 $F \mapsto F \circ \iota$ は $C(\beta X, \mathbb{R})$ から $C_b(X)$ への全単射であり、上限ノルムを保つ： $\sup_{p \in \beta X} |F(p)| = \sup_{x \in X} |F(\iota(x))|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 60 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
稠密集合上で一致する連続写像✓補題 5.1・完全正則空間と埋め込み定理
Stone–Čech コンパクト化の存在と普遍性✓定理 5.2・完全正則空間と埋め込み定理
- 関数族による埋め込み✓補題 3.3・完全正則空間と埋め込み定理
  - 積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
  - 命題 3.2✓分離公理と距離づけ可能性
    T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
- Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    超フィルターの補題✓定理 5.8・積位相・商位相と Tychonoff の定理この先をたどる →
  - 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 積空間の基本性質✓命題 3.5・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
    位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
    閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念この先をたどる →
    近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念
- コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性
  - T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
- 完全正則性の遺伝と十分条件✓命題 2.4・完全正則空間と埋め込み定理
  - 正則・正規と T3・T4定義 4.1・分離公理と距離づけ可能性
  - 命題 3.2✓分離公理と距離づけ可能性（上で展開済み）
  - 積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性
    縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
  - Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
- Tychonoff の埋め込み定理✓定理 3.4・完全正則空間と埋め込み定理
  - 距離空間は T4✓定理 5.2・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
  - 完全正則性の遺伝と十分条件✓命題 2.4・完全正則空間と埋め込み定理（上で展開済み）
  - 関数族による埋め込み✓補題 3.3・完全正則空間と埋め込み定理（上で展開済み）
  - 無限基数の和と積✓系 6.4・公理的集合論 ZFC
    ヘッセンベルクの定理✓定理 6.3・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
  - 積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 連続性の同値条件✓定理 3.3・連続写像と同相写像（上で展開済み）
- 稠密集合上で一致する連続写像✓補題 5.1・完全正則空間と埋め込み定理
連続性の同値条件✓定理 3.3・連続写像と同相写像
- 点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

有界連続関数の延長

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）