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H₀ と点のホモロジー

命題 2.4（「特異ホモロジー」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ の道連結成分を $X_\alpha$ とすると $C_*(X)=\bigoplus_\alpha C_*(X_\alpha)$ で、したがって $H_n(X)\cong\bigoplus_\alpha H_n(X_\alpha)$ 。
$H_0(X)$ は道連結成分の集合上の自由アーベル群である。特に $X$ が道連結なら $H_0(X)\cong\mathbb{Z}$ （同型は $\varepsilon\bigl(\sum n_i\sigma_i\bigr)=\sum n_i$ ）。
一点 $\mathrm{pt}$ では $H_0=\mathbb{Z}$ , $H_n=0\ (n\ge1)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 8 件

コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性
Hurewicz の定理✓定理 5.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー
球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー
射影空間の 1 次ホモロジー✓補題 9.2・層コホモロジーと直線束
胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論

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