数学 › 代数的位相幾何学 › コホモロジーと双対性

コホモロジーの基本性質

命題 2.2（「コホモロジーと双対性」§2） ・ ✓公理まで証明済み

  1. 鎖準同型 f,g:C∗→D∗f,g:C_*\to D_* が鎖ホモトピック（∂P+P∂=g−f\partial P+P\partial=g-f）ならば f∗=g∗:Hn(D;G)→Hn(C;G)f^*=g^*:H^n(D;G)\to H^n(C;G)。特に f≃g:X→Yf\simeq g:X\to Y なら f∗=g∗f^*=g^* で、可縮な XX では H0(X;G)=GH^0(X;G)=G、Hn(X;G)=0H^n(X;G)=0 (n≥1)(n\ge1)。
  2. 道連結成分 XαX_\alpha について Hn(X;G)≅∏αHn(Xα;G)H^n(X;G)\cong\prod_\alpha H^n(X_\alpha;G)（直積）。
  3. Mayer–Vietoris 完全列: int⁡U∪int⁡V=X\operatorname{int}U\cup\operatorname{int}V=X ならば
⋯→Hn(X;G)→Hn(U;G)⊕Hn(V;G)→Hn(U∩V;G)→ δ Hn+1(X;G)→⋯\cdots\to H^n(X;G)\to H^n(U;G)\oplus H^n(V;G)\to H^n(U\cap V;G)\xrightarrow{\ \delta\ }H^{n+1}(X;G)\to\cdots

が完全である。最初の写像は制限の組、二番目は (α,β)↦β∣U∩V−α∣U∩V(\alpha,\beta)\mapsto\beta|_{U\cap V}-\alpha|_{U\cap V}。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件