数学 › 複素幾何 › 層コホモロジーと直線束

定数層のコホモロジーと特異コホモロジー

定理 4.1（「層コホモロジーと直線束」§4） ・ ✓公理まで証明済み

XX を滑らかな多様体、GG をアーベル群とする。

  1. 0→G‾→εSG0→δSG1→δ⋯0\to\underline{G}\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal{S}^0_G\xrightarrow{\delta}\mathcal{S}^1_G\xrightarrow{\delta}\cdots は細層による G‾\underline{G} の分解である。
  2. 自然な写像 θ ⁣:Cq(X;G)→Γ(X,SGq)\theta\colon C^q(X;G)\to\Gamma(X,\mathcal{S}^q_G) は全射で、核は C0q(X;G)C^q_0(X;G) である。複体 C0∙(X;G)C^\bullet_0(X;G) のコホモロジーはすべて 00 である。
  3. したがって θ\theta と 補題 3.3 の Δˉk\bar\Delta_k の合成
Hk(X;G)→ Hk(θ) Hk(Γ(X,SG∙))→ Δˉk Hk(X,G‾)H^k(X;G)\xrightarrow{\ H^k(\theta)\ }H^k(\Gamma(X,\mathcal{S}^\bullet_G))\xrightarrow{\ \bar\Delta_k\ }H^k(X,\underline{G})

は同型で、係数の準同型 G→G′G\to G' について自然である。

滑らかな特異単体だけを使った C∞q(U;G)C^q_\infty(U;G) とその層化 S∞,Gq\mathcal{S}^q_{\infty,G} についても 1〜3 が成り立ち、滑らかな単体への制限 SGq→S∞,Gq\mathcal{S}^q_G\to\mathcal{S}^q_{\infty,G} は分解の射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件