数学 › 複素幾何 › 層コホモロジーと直線束

定数層のコホモロジーと de Rham コホモロジー

定理 4.2（「層コホモロジーと直線束」§4） ・ ✓公理まで証明済み

XX を滑らかな多様体とする。

  1. 0→R‾→AR0→dAR1→d⋯0\to\underline{\mathbb{R}}\to\mathcal{A}^0_{\mathbb{R}}\xrightarrow{d}\mathcal{A}^1_{\mathbb{R}}\xrightarrow{d}\cdots は細層による分解で、補題 3.3 は同型
ΦdR=Δˉk ⁣:HdRk(X)→Hk(X,R‾)\Phi_{\mathrm{dR}}=\bar\Delta_k\colon H^k_{\mathrm{dR}}(X)\to H^k(X,\underline{\mathbb{R}})

を与える。複素数値の形式についても同じで、Hk(X,C)=HdRk(X)⊗C≅Hk(X,C‾)H^k(X,\mathbb{C})=H^k_{\mathrm{dR}}(X)\otimes\mathbb{C}\cong H^k(X,\underline{\mathbb{C}})。 2. 定理 4.1 の同型 Φsing ⁣:Hk(X;R)→Hk(X,R‾)\Phi_{\mathrm{sing}}\colon H^k(X;\mathbb{R})\to H^k(X,\underline{\mathbb{R}}) について、Φsing−1∘ΦdR\Phi_{\mathrm{sing}}^{-1}\circ\Phi_{\mathrm{dR}} は de Rham の定理（定理 5.4［コホモロジーと双対性］）の同型 (ι∗)−1∘I(\iota^*)^{-1}\circ I に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 103 件、定義なども含めて 123 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件