基本的な性質

$M$ を $n$ 次元の滑らかな多様体とする。

1. $H^0_{\mathrm{dR}}(M)$ は $M$ 上の局所定数関数全体であり、$M$ の連結成分の個数が $c$ なら $H^0_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathbb{R}^c$。とくに $M$ が連結なら $H^0=\mathbb{R}$。
2. $k>n$ では $H^k_{\mathrm{dR}}(M)=0$。
3. $F\colon M\to N$ を滑らかな写像とすると、$F^*\colon\Omega^k(N)\to\Omega^k(M)$ は $d$ と可換なので、線形写像 $F^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$、$[\omega]\mapsto[F^*\omega]$ を誘導する。$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*$、$\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$。とくに微分同相は同型を誘導する。
4. $[\alpha]\in H^k$、$[\beta]\in H^l$ に対し $[\alpha][\beta]:=[\alpha\wedge\beta]\in H^{k+l}$ は代表元の取り方によらず定まり、$F^*$ はこの積を保つ。