数学 › 代数的位相幾何学 › コホモロジーと双対性

Poincaré 双対の帰結

系 6.5（「コホモロジーと双対性」§6）・ ✓公理まで証明済み

$M$ が連結なら $\int_M:H^n_c(M)\to\mathbb{R}$ は同型である。特に閉（コンパクトで境界なし）連結な $M$ では $H^n_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathbb{R}$ 。
$M$ が閉なら $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M)^*$ で、de Rham の定理定理 5.4 と合わせて $H^k(M;\mathbb{R})\cong H^{n-k}(M;\mathbb{R})^*$ 。これらが有限次元なら Betti 数は $b_k=b_{n-k}$ を満たす。
閉形式 $\omega$ について、すべての閉コンパクト台形式 $\eta$ で $\int_M\omega\wedge\eta=0$ なら $\omega$ は完全である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
- 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
コンパクト Riemann 面は射影的✓系 7.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
符号数は有向同境不変量で、乗法的✓定理 6.4・同境と Pontryagin–Thom 構成
写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
単連結な閉 3 次元多様体の実コホモロジー✓命題 2.6・ポアンカレ予想 I

関連するノック 3 問