数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

写像度の積分による表示

系 4.4（「交点数と写像度」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 104 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理

  • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理

    • コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理

      • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
• 正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度

  • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

    • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
• チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理

  • 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理

    • 中間値の定理✓定理 6.1・連結性 この先をたどる →
  • 重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分

    • 重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
    • ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
    • 一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
• Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性

  • 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー

    • 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
• 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理

  • ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理

    • 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    • フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式✓命題 5.5・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度
• Borsuk–Ulam の定理✓定理 6.1・交点数と写像度
• 絡み数の 3 つの表示と対称性✓命題 8.2・交点数と写像度

関連するノック 1 問

• 微分位相 第 30 問