正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致
を同じ次元 のコンパクトな向き付けられた境界のない多様体、 は連結、 を滑らかな写像とする。
- 任意の正則値 について で、この値は正則値 によらず、 のホモトピーで不変である。 が全射でなければ である。
- （ も同じ条件を満たす）に対し 。向きを保つ微分同相の写像度は 、逆にする微分同相の写像度は である。
- のとき、 は特異ホモロジーで定義した写像度（定義 5.1［胞体ホモロジーと写像度］）に一致する。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 185 件、定義なども含めて 218 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 滑らかな写像の写像度定義 4.1・交点数と写像度
写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度
向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理✓定理 3.4・交点数と写像度
- mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度（上で展開済み）
1 次元の逆像の境界の符号✓補題 3.3・交点数と写像度
- 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性 この先をたどる →
- コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性 この先をたどる →
- 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度（上で展開済み）
mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性 この先をたどる →
境界で横断的なら内部だけ動かせばよい✓系 9.4・横断性
- 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性 この先をたどる →
- 1 次元多様体の境界の点は偶数個✓系 4.5・横断性 この先をたどる →
境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度
- 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性 この先をたどる →
微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 分離と連結性定義 2.1・連結性
写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
- コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理
向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理
- 重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分 この先をたどる →
Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性
写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーション
de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー この先をたどる →
- コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
- 滑らかな特異鎖によるコホモロジー✓補題 2.3・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー この先をたどる →
- Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性
- 自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 絡み数の射影図による公式✓系 4.7・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
- 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度
- 指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度
- 零点のないベクトル場の存在✓定理 7.7・交点数と写像度