数学 › 多様体論 › ストークスの定理

向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ

命題 3.2（「ストークスの定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を $n$ 次元多様体（ $n \ge 1$ ）とする。次は同値である。

$M$ は定義 3.1 の意味で向き付け可能である。
$M$ のアトラス $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ で、すべての $\alpha,\beta$ と $x \in \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$ に対して座標変換 $\tau_{\beta\alpha} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}$ が $\det\big(D\tau_{\beta\alpha}(x)\big) > 0$ を満たすものが存在する。

このようなアトラスを向きの合ったアトラスという。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

中間値の定理✓定理 6.1・連結性
- R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Poincaré 双対定理（de Rham 版）✓定理 6.4・コホモロジーと双対性
複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
単連結な多様体は向き付け可能✓補題 2.5・ポアンカレ予想 I
チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理

関連するノック 2 問