数学 › 代数的位相幾何学 › コホモロジーと双対性
Poincaré 双対定理（de Rham 版）
境界のない向き付けられた 次元多様体 と各 について、 は同型である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 40 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
コンパクト台の Mayer–Vietoris 完全列✓補題 6.3・コホモロジーと双対性
- 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
- 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理
中間値の定理✓定理 6.1・連結性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
- 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式 この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
- Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
- コンパクト台の Poincaré の補題✓補題 6.2・コホモロジーと双対性
Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
これを使っている定理 証明で参照している 3 件
- Poincaré–Lefschetz 双対（de Rham 版）✓補題 6.1・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 交叉形式✓命題 9.1・Thom 類と Poincaré 双対
- 単連結な閉 3 次元多様体の実コホモロジー✓命題 2.6・ポアンカレ予想 I