交叉形式

命題 9.1（「Thom 類と Poincaré 双対」§9）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられた $2m$ 次元の閉多様体とし、

Q\colon H^m(M)\times H^m(M)\to\mathbb{R},\qquad Q(a,b)=\int_Ma\wedge b

とおく（交叉形式）。

$Q$ は非退化な双線形形式で、 $m$ が偶数なら対称、 $m$ が奇数なら交代である。 $m$ が奇数のとき $\dim H^m(M)$ は偶数である。
$A,B\subset M$ がコンパクトな向き付けられた $m$ 次元部分多様体ならば $Q(\eta_A,\eta_B)=I(A,B)$ である。
$M$ の向きを逆にすると $Q$ は $-Q$ になる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 133 件、定義なども含めて 160 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Poincaré 双対定理（de Rham 版）✓定理 6.4・コホモロジーと双対性
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
- コンパクト台の Mayer–Vietoris 完全列✓補題 6.3・コホモロジーと双対性
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
- 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理
  - 中間値の定理✓定理 6.1・連結性
    R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性この先をたどる →
    連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性この先をたどる →
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
    ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- コンパクト台の Poincaré の補題✓補題 6.2・コホモロジーと双対性
- Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
交点数は Poincaré 双対の積の積分✓系 5.6・Thom 類と Poincaré 双対
- 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性
  - Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性この先をたどる →
    固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性この先をたどる →
    埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
    法束は多様体✓補題 7.2・横断性この先をたどる →
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
  - 正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性この先をたどる →
  - パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対
  - 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性この先をたどる →
  - 指定した点の近くで積の形をした Thom 形式✓補題 5.4・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ✓命題 4.5・コンパクト性この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

交叉形式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）