数学 › 多様体論 › de Rham コホモロジー

Mayer–Vietoris 完全系列

定理 4.3（「de Rham コホモロジー」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M=U\cup V$ （ $U,V$ は開集合）のとき、次の完全系列が存在する。

\cdots\to H^k(M)\xrightarrow{r^*}H^k(U)\oplus H^k(V)\xrightarrow{\delta^*}H^k(U\cap V)\xrightarrow{\ \partial\ }H^{k+1}(M)\to\cdots

ここで $r^*[\omega]=([\omega|_U],[\omega|_V])$ 、 $\delta^*([\alpha],[\beta])=[\beta|_{U\cap V}]-[\alpha|_{U\cap V}]$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 6 件

de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性
Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性
Poincaré 双対定理（de Rham 版）✓定理 6.4・コホモロジーと双対性
複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Milnor のエキゾチック 7 次元球面△定理 3.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー

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