Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）

定理 5.6（「コホモロジーと双対性」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\pi:E\to M$ をファイバー $F$ の滑らかなファイバー束とし、 $H^*_{\mathrm{dR}}(F)$ は有限次元とする。 $E$ 上の閉形式 $e_1,\dots,e_r$ （ $e_j$ は $d_j$ 次）で、すべての $x\in M$ について $[j_x^*e_1],\dots,[j_x^*e_r]$ が $H^*_{\mathrm{dR}}(E_x)$ の基底になるものが存在するとする。このとき各 $k$ で

\Phi:\bigoplus_{j=1}^rH^{k-d_j}_{\mathrm{dR}}(M)\longrightarrow H^k_{\mathrm{dR}}(E),\qquad(\alpha_j)_j\mapsto\sum_j\pi^*\alpha_j\wedge[e_j]

は同型である。すなわち $H^*_{\mathrm{dR}}(E)$ は、 $\pi^*$ で $H^*_{\mathrm{dR}}(M)$ 加群とみて、 $[e_1],\dots,[e_r]$ を基底とする自由加群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
- 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
- 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
  - ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
    Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジー
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
- コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー
    ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
    小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー（上で展開済み）
  - 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー
    Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
    重心細分の鎖ホモトピー✓補題 5.1・特異ホモロジー
- 滑らかな特異鎖によるコホモロジー✓補題 2.3・コホモロジーと双対性
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー（上で展開済み）
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
- Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

de Rham コホモロジーの Künneth の公式✓系 5.7・コホモロジーと双対性
Gysin 完全列✓定理 8.3・Thom 類と Poincaré 双対

Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件