数学 › 代数的位相幾何学 › コホモロジーと双対性
de Rham の定理
滑らかな多様体 と各 について、
はどちらも同型である（ は包含）。したがって で、同型は滑らかな写像と可換である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 45 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性
- ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー（上で展開済み）
小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー
Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性 この先をたどる →
- 重心細分の鎖ホモトピー✓補題 5.1・特異ホモロジー
滑らかな特異鎖によるコホモロジー✓補題 2.3・コホモロジーと双対性
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式 この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
- Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性
- 写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーション
- Seifert 膜の存在✓定理 4.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
- 単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
- 閉多様体のコホモロジーは有限次元✓補題 2.1・Thom 類と Poincaré 双対