数学 › 微分位相 › h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式

命題 5.3（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§5） ・ ✓公理まで証明済み

MM を単連結な閉 4 次元多様体とし、向きを 1 つ決める（単連結なので向き付け可能である）。

  1. H1(M)=H3(M)=0H_1(M)=H_3(M)=0、H0(M)≅H4(M)≅ZH_0(M)\cong H_4(M)\cong\mathbb{Z} で、H2(M)H_2(M) は有限階数の自由アーベル群である。
  2. 補題 5.2 の ff について、C2′C'_2 の元 ∑iai[A(pi)]\sum_ia_i[A(p_i)] と C2C_2 の元 ∑jbj[D(pj)]\sum_jb_j[D(p_j)] に ∑iaibi\sum_ia_ib_i（芯と余芯の交点数）を対応させる対は、双線形形式 λM ⁣:H2(M)×H2(M)→Z\lambda_M\colon H_2(M)\times H_2(M)\to\mathbb{Z} を誘導し、λM\lambda_M はユニモジュラーである。
  3. ΛM={[α]:∫zα∈Z (∀z∈H2(M))}≅Hom⁡(H2(M),Z)\Lambda_M=\{[\alpha]:\int_z\alpha\in\mathbb{Z}\ (\forall z\in H_2(M))\}\cong\operatorname{Hom}(H_2(M),\mathbb{Z}) で、ΛM\Lambda_M は HdR2(M)H^2_{\mathrm{dR}}(M) を張る階数 b2(M)b_2(M) の格子である。
  4. φ ⁣:M→M′\varphi\colon M\to M' が向き付けられた閉 4 次元多様体の間のホモトピー同値なら、φ\varphi にホモトピックな滑らかな写像による引き戻しは同型 ΛM′→ΛM\Lambda_{M'}\to\Lambda_M を与え、QM(φ∗x,φ∗y)=±QM′(x,y)Q_M(\varphi^*x,\varphi^*y)=\pm Q_{M'}(x,y)（符号は x,yx,y によらない）である。とくに、Q(x,x)Q(x,x) が奇数となる x∈Λx\in\Lambda が存在するかどうかは、ホモトピー同値で不変である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 294 件、定義なども含めて 335 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件