CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式

命題 5.5（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{C}P^2$ では $\Lambda=\mathbb{Z}x$ （ $x$ は直線 $L$ の Poincaré 双対）、 $Q=(1)$ 。向きを逆にした $-\mathbb{C}P^2$ では $Q=(-1)$ 。
$S^2\times S^2$ では $\Lambda=\mathbb{Z}a\oplus\mathbb{Z}b$ （ $a,b$ は各因子の面積形式の引き戻し）、 $Q=H:=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 。これは偶で不定値、符号数 $0$ である。
$\mathbb{C}P^2\#(-\mathbb{C}P^2)$ では $\Lambda=\mathbb{Z}x\oplus\mathbb{Z}y$ 、 $Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 。これは奇で不定値、符号数 $0$ である。
$S^2\times S^2$ と $\mathbb{C}P^2\#(-\mathbb{C}P^2)$ はホモトピー同値でない。とくに同相でない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 322 件、定義なども含めて 367 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

閉部分多様体の Poincaré 双対定義 5.1・Thom 類と Poincaré 双対
横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性
- Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性この先をたどる →
  - 固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性この先をたどる →
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
  - 法束は多様体✓補題 7.2・横断性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
- 正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性この先をたどる →
- パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性この先をたどる →
- 管の補題✓補題 2.3・横断性
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対
- 局所化原理✓系 5.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
複素射影空間のコホモロジー環✓定理 8.4・Thom 類と Poincaré 双対
- Gysin 完全列✓定理 8.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対✓定理 6.4・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Euler 類の性質✓命題 6.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 横断的な交わりは外積✓定理 5.8・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
de Rham コホモロジーの Künneth の公式✓系 5.7・コホモロジーと双対性
- Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性この先をたどる →
写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
- Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度この先をたどる →
- チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理この先をたどる →
- Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
- 持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間この先をたどる →
- Hurewicz の定理✓定理 5.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
- ハンドル分解による整数係数の双対✓補題 5.2・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口この先をたどる →
- Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
- 普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 有限生成の場合✓系 3.5・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 単連結な空間での Hurewicz の定理✓系 5.6・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
- 滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致✓系 8.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）