横断的な逆像と引き戻し

命題 5.7（「Thom 類と Poincaré 双対」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を向き付けられた閉多様体、 $M$ を向き付けられた多様体、 $Z\subset M$ を余次元 $q$ のコンパクトな向き付けられた部分多様体、 $f\colon X\to M$ を $f\pitchfork Z$ となる滑らかな写像とする。 $W=f^{-1}(Z)$ の法束には、 $df$ の誘導する同型 $\nu_{W,x}=T_xX/T_xW\to\nu_{Z,f(x)}$ で向きを移し、 $W$ には「 $T_xW$ の正の基底、 $\nu_{W,x}$ の正の基底の持ち上げ」が $T_xX$ の正の基底になるように向きを入れる。このとき

f^{*}\eta_Z=\eta_W\in H^q(X).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所化原理✓系 5.3・Thom 類と Poincaré 双対
- Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対
- 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理
    沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 指定した点の近くで積の形をした Thom 形式✓補題 5.4・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ✓命題 4.5・コンパクト性
  - ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
    量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語この先をたどる →
    外延性の原理公理 3.2・数学の国語
Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対
- Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性
    コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対
- Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- 鉛直コンパクト台の Poincaré の補題✓補題 3.3・Thom 類と Poincaré 双対
- 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
  - ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
    Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
- ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式✓命題 5.5・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
横断的な交わりは外積✓定理 5.8・Thom 類と Poincaré 双対
Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対✓定理 6.4・Thom 類と Poincaré 双対

横断的な逆像と引き戻し

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件