Hopf 不変量と絡み数

定理 4.5（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§4）・ ✓公理まで証明済み

$H(f)$ は $\alpha$ と $\omega$ の取り方によらず、 $f$ のホモトピー類だけで決まる。
$g\colon S^3\to S^3$ が滑らかなら $H(f\circ g)=\deg g\cdot H(f)$ 。
Hopf 写像 $p\colon S^3\to S^2=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 、 $p(z_1,z_2)=z_1/z_2$ （定義 4.1［ホモトピー群とファイブレーション］）について $H(p)=1$ 。したがって $H$ は群の同型 $\pi_3(S^2)\to\mathbb{Z}$ で、系 6.5［Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理］の同型（ $[p]\mapsto1$ ）に一致する。
$y\ne z$ を $f$ の正則値とすると、 $H(f)$ は 2 つの Pontryagin 多様体の絡み数 $\operatorname{lk}(f^{-1}(y),f^{-1}(z))$ に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 311 件、定義なども含めて 360 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 20 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理（上で展開済み）
最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
- ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
- チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致✓系 8.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーション
- de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性
  - 自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
Hopf ファイブレーションの帰結✓定理 4.3・ホモトピー群とファイブレーション
- Hopf ファイブレーション✓命題 4.2・ホモトピー群とファイブレーション
- ファイバー束はファイブレーション✓命題 3.6・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- ファイブレーションの長完全列✓定理 3.7・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- 被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- 球面の低次ホモトピー群✓命題 2.6・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間この先をたどる →
写像度は準同型✓命題 5.1・ホモトピー群とファイブレーション
- Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジーこの先をたどる →
- ホモトピー群の基本性質✓命題 2.4・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
π₃(SU(2)) = π₃(S³) = ℤ と π₃(S²) = ℤ✓系 6.5・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
- $π_n(S^n) = ℤ$ ✓系 6.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
- Hopf ファイブレーションの帰結✓定理 4.3・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
- 被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対
- 局所化原理✓系 5.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 管状近傍の存在✓定理 3.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
部分集合の近くでの単射性✓補題 3.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
管の補題✓補題 2.3・横断性
- コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
Seifert 膜の存在✓定理 4.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口この先をたどる →
Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
絡み数の 3 つの表示と対称性✓命題 8.2・交点数と写像度この先をたどる →
境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性この先をたどる →
絡み数定義 8.1・交点数と写像度
正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Hopf 不変量と絡み数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 20 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 20 件）