数学 › 代数的位相幾何学 › 基本群と被覆空間

円周の基本群

定理 4.1（「基本群と被覆空間」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\pi_1(S^1,1)\cong\mathbb{Z}$ であり、同型は $n\mapsto[\omega_n]$ , $\omega_n(s)=e^{2\pi i n s}$ で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
系 3.7✓基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

Hopf ファイブレーションの帰結✓定理 4.3・ホモトピー群とファイブレーション
π₃(SU(2)) = ℤ✓定理 5.3・ホモトピー群とファイブレーション
$π_n(S^n) = ℤ$ ✓系 6.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
Seifert 膜の存在✓定理 4.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
三葉結び目は自明でない✓定理 4.9・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
種数 1 の Heegaard 分解とレンズ空間✓命題 8.3・ハンドル分解と手術
クラス 𝒮 の多様体の基本群✓補題 5.3・ポアンカレ予想 III
ハワイの耳輪は普遍被覆をもたない✓命題 7.2・反例の空間

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