三葉結び目は自明でない

定理 4.9（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§4）・ ✓公理まで証明済み

$S^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2:|z_1|^2+|z_2|^2=2\}$ の中の結び目 $K=\{(e^{3it},e^{2it}):t\in\mathbb{R}\}$ （三葉結び目）について

\pi_1(S^3\setminus K)\cong\langle a,b\mid a^2=b^3\rangle

で、この群は 3 次対称群 $S_3$ の上への全射準同型をもつ。とくに可換でない。自明な結び目 $U$ では $\pi_1(S^3\setminus U)\cong\mathbb{Z}$ なので、 $K$ は自明な結び目に同値でない。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

種数 1 の Heegaard 分解とレンズ空間✓命題 8.3・ハンドル分解と手術
- van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
- 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間
- 指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
  - 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 系 3.7✓基本群と被覆空間
  - ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。