種数 1 の Heegaard 分解とレンズ空間

命題 8.3（「ハンドル分解と手術」§8）・ ✓公理まで証明済み

$A=\begin{pmatrix}r&p\\s&q\end{pmatrix}\in GL_2(\mathbb{Z})$ に対し、2 つのソリッドトーラス $V_1$ 、 $V_2$ を $h_A\colon\partial V_2\to\partial V_1$ で貼った閉 3 次元多様体を $M_A$ とする。

$M_A$ は微分同相を除いて $A$ の第 2 列 $(p,q)$ だけで決まる。これを $L(p,q)$ と書く（ $p\ge2$ のときレンズ空間という）。
$\pi_1(M_A)\cong\mathbb{Z}/|p|$ （ $p=0$ のときは $\mathbb{Z}$ ）。したがって $|p|$ が異なれば $M_A$ は微分同相でない。
$L(0,1)\cong S^1\times S^2$ 、 $L(1,0)\cong S^3$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間
- 指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
  - 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 系 3.7✓基本群と被覆空間
  - ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

三葉結び目は自明でない✓定理 4.9・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

種数 1 の Heegaard 分解とレンズ空間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件