π₃(SU(2)) = ℤ

定理 5.3（「ホモトピー群とファイブレーション」§5）・ ✓公理まで証明済み

すべての $n\ge1$ について $\deg:\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ は同型であり、特に

\pi_3(SU(2))\cong\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z},\qquad \pi_3(SO(3))\cong\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}

で、 $\pi_3(SU(2))$ の生成元は恒等写像、 $\pi_3(S^2)$ の生成元は Hopf 写像である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 97 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間
- 指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
  - 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間この先をたどる →
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
- 系 3.7✓基本群と被覆空間
  - ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
Hopf ファイブレーションの帰結✓定理 4.3・ホモトピー群とファイブレーション
- Hopf ファイブレーション✓命題 4.2・ホモトピー群とファイブレーション
- ファイバー束はファイブレーション✓命題 3.6・ホモトピー群とファイブレーション
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
  - 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性この先をたどる →
- ファイブレーションの長完全列✓定理 3.7・ホモトピー群とファイブレーション
  - Serre ファイブレーション定義 3.4・ホモトピー群とファイブレーション
  - 対のホモトピー長完全列✓定理 3.3・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- 被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
- 球面の低次ホモトピー群✓命題 2.6・ホモトピー群とファイブレーション
  - 単体近似✓補題 7.4・胞体ホモロジーと写像度この先をたどる →
  - 零ホモトピーと円板への拡張✓補題 2.5・ホモトピー群とファイブレーション
- 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
写像度は準同型✓命題 5.1・ホモトピー群とファイブレーション
- Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
  - 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- ホモトピー群の基本性質✓命題 2.4・ホモトピー群とファイブレーション
  - 道の積の群的性質✓命題 2.2・基本群と被覆空間
$π_n(S^n) = ℤ$ ✓系 6.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
- 写像度は準同型✓命題 5.1・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
- 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 球面の低次ホモトピー群✓命題 2.6・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
- Hurewicz の定理✓定理 5.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - Eilenberg の部分複体✓補題 4.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - 境界関係式✓補題 5.3・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
  - h は準同型✓補題 2.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
  - 基本類の選び方✓補題 2.2・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
- 写像度定義 5.1・胞体ホモロジーと写像度
- 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー（上で展開済み）
  - ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーション
- ファイバー束はファイブレーション✓命題 3.6・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
- ファイブレーションの長完全列✓定理 3.7・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
- SU(2) は SO(3) の普遍被覆✓定理 8.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
  - 微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像この先をたどる →
  - n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間この先をたどる →
  - 普遍被覆の被覆変換群✓定理 7.2・基本群と被覆空間この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

π₃(SU(2)) = ℤ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）