SU(2) は SO(3) の普遍被覆

定理 8.2（「行列 Lie 群と指数写像」§8）・ ✓公理まで証明済み

$\operatorname{Ad}\colon SU(2)\to GL(\mathfrak{su}(2))\cong GL(3,\mathbb{R})$ は $SO(3)$ への連続な全射準同型で、核は $\lbrace\pm I\rbrace$ 、被覆写像である。 $SU(2)$ は単連結なので、これは普遍被覆であり、 $\pi_1(SO(3))\cong\mathbb{Z}/2$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 56 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
    指数写像定義 6.1・リー群とリー環
  - Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- 可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間
  - 可縮・局所可縮定義 2.8・基本群と被覆空間
  - ホモトピー不変性✓命題 2.5・基本群と被覆空間
  - 基点の取り替え✓命題 2.4・基本群と被覆空間
    道の積の群的性質✓命題 2.2・基本群と被覆空間
- van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間
  - van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間
    Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
  - 準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理この先をたどる →
    準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
    核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
普遍被覆の被覆変換群✓定理 7.2・基本群と被覆空間
- 持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間
  - 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
  - 系 3.7✓基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- 系 3.7✓基本群と被覆空間
  - ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
    持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
    Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーション
Spin(n) の単連結性✓命題 8.7・行列 Lie 群と指数写像

SU(2) は SO(3) の普遍被覆

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件