立体射影は同相写像

$N=(0,\ldots,0,1)$、$S=-N$ とし、$U_N=S^n\setminus\{N\}$, $U_S=S^n\setminus\{S\}$ とする。$\varphi_N(x)=\frac{(x^1,\ldots,x^n)}{1-x^{n+1}}$ は $U_N$ から $\mathbb{R}^n$ への同相写像で、逆写像は $\Phi(u)=\frac{(2u,\ |u|^2-1)}{|u|^2+1}$ である。$\varphi_S(x)=\frac{(x^1,\ldots,x^n)}{1+x^{n+1}}$ も $U_S$ から $\mathbb{R}^n$ への同相写像である。さらに座標変換は $\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u)=u/|u|^2$（$u\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}=\varphi_N(U_N\cap U_S)$）で、$C^\infty$ 級である。