数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 III
球面との連結和は元の多様体
を連結な向き付けられた境界のない 次元多様体（）とする。 は に向きを保って微分同相である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 76 件、定義なども含めて 93 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 分離と連結性定義 2.1・連結性
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
- はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
- 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
- ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する✓定理 9.4・連結性 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和✓補題 3.3・ポアンカレ予想 III
- クラス 𝒮 の多様体の基本群✓補題 5.3・ポアンカレ予想 III