2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和

補題 3.3（「ポアンカレ予想 III」§3）・ ✓公理まで証明済み

$N$ を連結な向き付けられた境界のない $n$ 次元多様体（ $n\ge2$ ）、 $c_+\colon B_2\to N$ を向きを保つ埋め込み、 $c_-\colon B_2\to N$ を向きを逆にする埋め込みとし、像は交わらないとする。

\operatorname{Self}(N;c_+,c_-)=\bigl(N\setminus\{c_+(0),c_-(0)\}\bigr)\Big/\ c_+(tu)\sim c_-\bigl((1-t)u\bigr)\quad(u\in S^{n-1},\ 0\lt t\lt1)

は $N\#(S^{n-1}\times S^1)$ に微分同相である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 132 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性
  - R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性この先をたどる →
  - 局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 6.1・連結性この先をたどる →
- 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性
  - 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性（上で展開済み）
  - 分離と連結性定義 2.1・連結性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 分離と連結性定義 2.1・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- 円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
球面との連結和は元の多様体✓補題 3.2・ポアンカレ予想 III
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- 連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
  - はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する✓定理 9.4・連結性この先をたどる →
連結和の基本群✓命題 2.7・ポアンカレ予想 I
- 連結和定義 6.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間
  - 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
  - 可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間この先をたどる →
  - van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
- van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間
  - van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
  - 準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理この先をたどる →
- van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

手術と連結和✓命題 3.4・ポアンカレ予想 III

2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和

閉包の状態

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