手術と連結和

命題 3.4（「ポアンカレ予想 III」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を連結な向き付けられた閉 $n$ 次元多様体（ $n\ge2$ ）、 $e\colon S^{n-1}\times(-2,2)\to M$ を埋め込み、 $S=e(S^{n-1}\times\{0\})$ 、 $M_S$ を $S$ に沿った手術の結果（定義 3.1）とする。

$M\setminus S$ が連結でないとき、 $M_S$ はちょうど 2 つの成分 $N_1\ni p_+$ 、 $N_2\ni p_-$ を持ち、 $M\cong N_1\# N_2$ 。
$M\setminus S$ が連結のとき、 $M_S$ は連結で、 $M\cong M_S\#(S^{n-1}\times S^1)$ 。

したがって、連結な向き付けられた閉多様体のクラス $\mathcal{C}$ が連結和について閉じていて $S^{n-1}\times S^1$ を含むとき、 $M$ に互いに交わらない有限個の球面に沿って手術を施した結果のすべての成分が $\mathcal{C}$ に属するならば、 $M$ も $\mathcal{C}$ に属する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 109 件、定義なども含めて 133 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和✓補題 3.3・ポアンカレ予想 III
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性
    R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性この先をたどる →
    局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性この先をたどる →
    中間値の定理✓定理 6.1・連結性この先をたどる →
  - 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性
    弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性（上で展開済み）
    分離と連結性定義 2.1・連結性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
- 連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    分離と連結性定義 2.1・連結性
  - 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - 円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 球面との連結和は元の多様体✓補題 3.2・ポアンカレ予想 III
  - 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
  - 連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
    はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
    GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
    ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する✓定理 9.4・連結性この先をたどる →
- 連結和の基本群✓命題 2.7・ポアンカレ予想 I
  - 連結和定義 6.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間
    立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
    可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間この先をたどる →
    van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間（上で展開済み）
  - 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
  - van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間
    van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間この先をたどる →
    準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

消滅する流れの初期多様体はクラス 𝒮 に属する△補題 5.4・ポアンカレ予想 III

手術と連結和

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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