イソトピー拡張定理

定理 5.2（「管状近傍・カラー・イソトピーの拡張」§5）・ ✓公理まで証明済み

$Z,Y$ を境界のない多様体、 $F\colon Z\times J\to Y$ をイソトピー、 $K\subset Z$ をコンパクト集合とする。このとき $Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で、

\Phi_t\bigl(F_0(z)\bigr)=F_t(z)\qquad(z\in K,\ t\in[0,1])

となるものが存在する。とくに $Z$ がコンパクトなら（ $K=Z$ として）、コンパクトな部分多様体のイソトピーはすべて、台がコンパクトなアンビエントイソトピーに拡張できる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 59 件、定義なども含めて 74 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 管の補題✓補題 2.3・横断性
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 9 件

向き付け不可能な場合✓系 4.2・同境と Pontryagin–Thom 構成
ハンドル分解による整数係数の双対✓補題 5.2・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術
ハンドルの並べ替え✓定理 4.1・ハンドル分解と手術
指数 0 と 1 の対の消去✓補題 5.6・ハンドル分解と手術
交点数の対称性✓命題 3.5・交点数と写像度
管状近傍の一意性（アンビエントな形）✓系 5.5・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

イソトピー拡張定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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