ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる

命題 3.8（「ハンドル分解と手術」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を閉 $(n-1)$ 次元多様体、 $\varphi_0,\varphi_1\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M$ をイソトピックな接着写像とする。

$M$ の微分同相 $\Psi_1$ で、恒等写像にイソトピックかつ $\Psi_1\circ\varphi_0=\varphi_1$ となるものがあり、 $(z,c)\mapsto(\Psi_1(z),c)$ と $L_\lambda$ 上の恒等写像は微分同相 $\omega(M,\varphi_0)\to\omega(M,\varphi_1)$ を定める。
同境 $W\colon M_0\rightsquigarrow M$ に対し、 $W\cup_{\varphi_0}h^\lambda$ と $W\cup_{\varphi_1}h^\lambda$ は、 $M_0$ の近くで恒等写像となる微分同相で移り合う。

像が互いに交わらない有限個の接着写像の組 $(\varphi_{0,i})_i$ 、 $(\varphi_{1,i})_i$ が、各時刻で像が互いに交わらない埋め込みの族 $(\varphi_{t,i})_i$ で結ばれるとき（組としてイソトピック）も、 $\omega(M;\cdot)$ と同時の接着について 1・2 が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
- はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
  - パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
- ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
  - 閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性この先をたどる →
  - 引き戻し・部分束・商束はベクトル束✓補題 2.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 管の補題✓補題 2.3・横断性
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術
- 境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
  - 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

同時に貼ることと順に貼ること✓補題 5.7・ハンドル分解と手術
ハンドルの滑らせ✓命題 5.8・ハンドル分解と手術
語が曲面を決める✓補題 7.2・ハンドル分解と手術
帯の滑らせの規則✓補題 7.3・ハンドル分解と手術

ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件