数学 › 微分位相 › 管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

ファイバー計量と直交補束

補題 2.3（「管状近傍・カラー・イソトピーの拡張」§2） ・ ✓公理まで証明済み

E→ME\to M をベクトル束とする。

  1. EE はファイバー計量（各ファイバーの内積 ⟨ , ⟩x\langle\ ,\ \rangle_x で、滑らかな切断 s,s′s,s' に対し x↦⟨s(x),s′(x)⟩xx\mapsto\langle s(x),s'(x)\rangle_x が滑らかなもの）を持つ。
  2. ファイバー計量を 1 つ決める。部分束 F⊂EF\subset E に対し F⊥=⨆x(Fx)⊥F^{\perp}=\bigsqcup_x(F_x)^{\perp} は部分束で、(u,w)↦u+w(u,w)\mapsto u+w は束同型 F⊕F⊥→EF\oplus F^{\perp}\to E、射影の制限 F⊥→E/FF^{\perp}\to E/F は束同型である。したがって E≅F⊕E/FE\cong F\oplus E/F である（短完全列 0→F→E→E/F→00\to F\to E\to E/F\to0 は分裂する）。
  3. 各点のまわりに、各点で正規直交基底になる枠（正規直交枠）がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件