平面曲線の次数と種数

系 8.7（「Thom 類と Poincaré 双対」§8）・ ✓公理まで証明済み

$F$ を 3 変数の $d$ 次斉次多項式（ $d\ge1$ ）で、 $C=\{F=0\}\subset\mathbb{C}P^2$ の各点で偏微分 $(\partial_0F,\partial_1F,\partial_2F)$ が $0$ にならないものとする。このとき $C$ はコンパクトな複素 1 次元（実 2 次元）の部分多様体で、

\eta_C=d\,x,\qquad\chi(C)=d(3-d)

が成り立つ。したがって、 $C$ が連結ならば種数 $g$ （ $\chi(C)=2-2g$ ）は

g=\frac{(d-1)(d-2)}2

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 285 件、定義なども含めて 328 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対✓定理 6.4・Thom 類と Poincaré 双対
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- 横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対
  - 局所化原理✓系 5.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
複素射影空間のコホモロジー環✓定理 8.4・Thom 類と Poincaré 双対
- Gysin 完全列✓定理 8.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - 大域角形式の存在✓補題 8.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性この先をたどる →
  - 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - 最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性この先をたどる →
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー
  - 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
  - Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
  - Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対✓定理 6.4・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- Euler 類の性質✓命題 6.2・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 横断的な交わりは外積✓定理 5.8・Thom 類と Poincaré 双対
  - 横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
接束の Euler 数は Euler 標数✓定理 6.5・Thom 類と Poincaré 双対
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対
  - 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性この先をたどる →
  - 指定した点の近くで積の形をした Thom 形式✓補題 5.4・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ✓命題 4.5・コンパクト性この先をたどる →
- 零点のない切断があれば Euler 類は消える✓系 6.3・Thom 類と Poincaré 双対
- Morse 関数の勾配の指数✓補題 7.5・交点数と写像度
  - Hessian と非退化臨界点定義 2.1・Morse 理論
- 指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度この先をたどる →
- Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度この先をたどる →
ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
曲面上の複素直線束のテンソル積の Euler 数✓補題 8.6・Thom 類と Poincaré 双対
- 一般の切断✓補題 8.5・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 接束の Euler 数は Euler 標数✓定理 6.5・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
- ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

平面曲線の次数と種数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）