Hessian と非退化臨界点

定義 2.1（「Morse 理論」§2）

$p$ を $f$ の臨界点とし、 $p$ のまわりのチャート $(U,x)$ を取る。対称行列

H_x(p)=\left(\frac{\partial^2 (f\circ x^{-1})}{\partial x_i\,\partial x_j}(x(p))\right)_{i,j=1}^n

が正則のとき $p$ を非退化臨界点という。 $H_x(p)$ の負の固有値の個数（重複度込み）を $p$ の指数といい $\operatorname{ind}(p)$ と書く。すべての臨界点が非退化な関数を Morse 関数という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。