Morse 関数の勾配の指数

$M\subset\mathbb{R}^N$ を部分多様体とし、$\mathbb{R}^N$ の内積から誘導される Riemann 計量を入れる。$f\colon M\to\mathbb{R}$ を Morse 関数、$\operatorname{grad}f$ を $\langle\operatorname{grad}f,a\rangle=df(a)$ で定まるベクトル場とする。$\operatorname{grad}f$ の零点は $f$ の臨界点で、すべて非退化であり、指数 $\lambda$ の臨界点 $p$ で $\operatorname{sign}\det d(\operatorname{grad}f)_p=(-1)^\lambda$ である。