接束の Euler 数は Euler 標数

定理 6.5（「Thom 類と Poincaré 双対」§6）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられた $n$ 次元の閉多様体とすると

\int_Me(TM)=\chi(M)

が成り立つ。より一般に、向き付けられた $n$ 次元閉多様体 $M$ 上の階数 $n$ の向き付きベクトル束 $E$ と、零切断に横断的な切断 $s$ について、 $\int_Me(E)=\sum_{s(x)=0}\varepsilon_x$ （ $\varepsilon_x$ は $ds_x$ の鉛直成分 $T_xM\to E_x$ が向きを保つかどうかの符号）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 271 件、定義なども含めて 314 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対
- 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理
    沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 指定した点の近くで積の形をした Thom 形式✓補題 5.4・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ✓命題 4.5・コンパクト性
  - ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
    量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語この先をたどる →
    外延性の原理公理 3.2・数学の国語
零点のない切断があれば Euler 類は消える✓系 6.3・Thom 類と Poincaré 双対
Morse 関数の勾配の指数✓補題 7.5・交点数と写像度
- Hessian と非退化臨界点定義 2.1・Morse 理論
指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度
- 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度
  - 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度この先をたどる →
  - 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度この先をたどる →
- 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する✓定理 9.4・連結性この先をたどる →
- 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度
  - 滑らかな写像の写像度定義 4.1・交点数と写像度
  - 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度この先をたどる →
  - 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度この先をたどる →
  - 写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度
- Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度（上で展開済み）
- 指数の和は管状近傍の Gauss 写像の写像度✓補題 7.4・交点数と写像度
  - 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性この先をたどる →
  - 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度（上で展開済み）
- Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論この先をたどる →
  - 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
- Morse 関数の勾配の指数✓補題 7.5・交点数と写像度（上で展開済み）
- Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論
  - 非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
  - 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論この先をたどる →
  - 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論この先をたどる →
  - 交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論この先をたどる →
- 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Milnor のエキゾチック 7 次元球面△定理 3.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
曲面上の複素直線束のテンソル積の Euler 数✓補題 8.6・Thom 類と Poincaré 双対
平面曲線の次数と種数✓系 8.7・Thom 類と Poincaré 双対

接束の Euler 数は Euler 標数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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