Poincaré–Hopf の定理

定理 7.6（「交点数と写像度」§7）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を $n$ 次元の閉多様体（ $n\ge2$ ）、 $V$ を $M$ 上の滑らかなベクトル場で零点がすべて孤立しているものとする。このとき

\sum_{V(p)=0}\operatorname{ind}_p(V)=\chi(M)=\sum_{k=0}^n(-1)^kb_k(M)

が成り立つ。 $M$ の向き付け可能性は仮定しない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 254 件、定義なども含めて 294 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理
  - はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度
- 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度（上で展開済み）
- 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する✓定理 9.4・連結性この先をたどる →
- 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度
  - 滑らかな写像の写像度定義 4.1・交点数と写像度
  - 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度この先をたどる →
  - 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度この先をたどる →
  - 写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
指数の和は管状近傍の Gauss 写像の写像度✓補題 7.4・交点数と写像度
- 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度（上で展開済み）
Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
    コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論
  - 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形この先をたどる →
- 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
Morse 関数の勾配の指数✓補題 7.5・交点数と写像度
- Hessian と非退化臨界点定義 2.1・Morse 理論
Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論
- 非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
- 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
  - 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論この先をたどる →
- 交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
  - 有理化は完全性を保つ✓補題 7.1・Morse 理論この先をたどる →
境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度
- 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度この先をたどる →
- 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度（上で展開済み）
- 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度
  - 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

トーラスと射影平面の Euler 標数✓補題 7.9・ハンドル分解と手術
零点のないベクトル場の存在✓定理 7.7・交点数と写像度
接束の Euler 数は Euler 標数✓定理 6.5・Thom 類と Poincaré 双対

Poincaré–Hopf の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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