数学 › 微分位相 › ハンドル分解と手術

トーラスと射影平面の Euler 標数

補題 7.9（「ハンドル分解と手術」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 277 件、定義なども含めて 318 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度

  • Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理

    • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    • 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
  • 指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度

    • 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度（上で展開済み）
    • 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
    • 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度 この先をたどる →
  • 指数の和は管状近傍の Gauss 写像の写像度✓補題 7.4・交点数と写像度

    • 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性 この先をたどる →
    • 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度（上で展開済み）
  • Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論

    • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
    • Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
    • Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論 この先をたどる →
    • 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
  • Morse 関数の勾配の指数✓補題 7.5・交点数と写像度

    • Hessian と非退化臨界点定義 2.1・Morse 理論
  • Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論

    • 非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
    • 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論（上で展開済み）
    • 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論 この先をたどる →
    • 交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論 この先をたどる →
  • 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度

    • 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度 この先をたどる →
    • 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度 この先をたどる →
    • 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度 この先をたどる →
• 射影空間の Euler 標数✓補題 2.7・同境と Pontryagin–Thom 構成

  • Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成（上で展開済み）
• Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成

  • 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術

    • カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
    • 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
    • Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
    • Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論（上で展開済み）
  • ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術

    • 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
    • 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
    • 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
    • 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
    • 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
  • 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術

    • 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
    • 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
    • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
  • 境界の外への延長✓補題 2.2・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
  • 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論

    • 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論 この先をたどる →
  • 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論 この先をたどる →
  • 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 閉曲面の分類定理✓定理 7.5・ハンドル分解と手術