射影空間の Euler 標数

補題 2.7（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§2）・ ✓公理まで証明済み

$m\ge1$ とする。 $\mathbb{R}P^m$ の上に、臨界点が $m+1$ 個で指数が $0,1,\dots,m$ の Morse 関数が、 $\mathbb{C}P^m$ の上に、臨界点が $m+1$ 個で指数が $0,2,\dots,2m$ の Morse 関数が存在する。したがって $\chi(\mathbb{R}P^m)=\tfrac12(1+(-1)^m)$ 、 $\chi(\mathbb{C}P^m)=m+1$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 146 件、定義なども含めて 173 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性この先をたどる →
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
  - 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
    コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論この先をたどる →
    測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
- ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術
  - 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
  - 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
  - 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術
    Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論この先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
  - 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
  - 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 境界の外への延長✓補題 2.2・ハンドル分解と手術
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - 境界付き多様体定義 4.1・ストークスの定理
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
  - 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
  - コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間この先をたどる →
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性この先をたどる →
  - ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー
  - ホモロジー群定義 2.3・特異ホモロジー
  - 命題 2.2✓特異ホモロジー
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 2 件

偶数次元の射影空間は境界にならない✓系 2.8・同境と Pontryagin–Thom 構成
トーラスと射影平面の Euler 標数✓補題 7.9・ハンドル分解と手術

射影空間の Euler 標数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件