境界付き多様体

を上半空間、$\partial\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{H}^n : x^n = 0\}$ とする（$\mathbb{H}^n$ の位相は $\mathbb{R}^n$ からの相対位相）。位相空間 $M$ が $n$ 次元境界付き多様体であるとは、$M$ が第二可算ハウスドルフであり、各点が $\mathbb{H}^n$ の開集合と同相な開近傍を持つことをいう。そのような同相写像 $\varphi : U \to \hat U \subset \mathbb{H}^n$ をチャートと呼び、座標変換がすべて $C^\infty$（$\mathbb{H}^n$ の部分集合上の $C^\infty$ 性は、$\mathbb{R}^n$ の開集合への $C^\infty$ 拡張を持つことで定義する）であるアトラスを与えたものを $C^\infty$ 級境界付き多様体という。

点 $p \in M$ は、あるチャート $\varphi$ について $\varphi(p) \in \partial\mathbb{H}^n$ となるとき境界点、そうでないとき内点と呼ぶ。境界点全体を $\partial M$、内点全体を $\operatorname{Int} M$ と書く。