ホモロジー群

$Z_n(X)=\ker\partial_n$（サイクル）、$B_n(X)=\operatorname{im}\partial_{n+1}$（境界）とする。命題 2.2 から $B_n\subseteq Z_n$ で、

を $X$ の $n$ 次特異ホモロジー群という。連続写像 $f:X\to Y$ は $f_\sharp\sigma=f\circ\sigma$ により鎖準同型 $f_\sharp:C_*(X)\to C_*(Y)$（$\partial f_\sharp=f_\sharp\partial$）を与え、準同型 $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ を誘導する。$(gf)_*=g_*f_*$, $(\mathrm{id})_*=\mathrm{id}$ である。