Sard の定理

定理 7.4（「部分多様体と正則値定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$U\subset\mathbb{R}^m$ を開集合、 $f\colon U\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 級写像（ $n\ge1$ ）、 $C=\{x\in U:\operatorname{rank}Df(x)<n\}$ を臨界点の集合とする。このとき $f(C)\subset\mathbb{R}^n$ は測度 $0$ である。

したがって、滑らかな多様体の間の滑らかな写像 $F\colon M\to N$ の臨界値全体は $N$ で測度 $0$ であり、正則値全体は $N$ で稠密である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
- コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論
Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合）✓定理 3.7・同境と Pontryagin–Thom 構成
Seifert 膜の存在✓定理 4.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性
射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性
埋め込み次元の削減✓定理 8.2・部分多様体と正則値定理

Sard の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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