Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合）

定理 3.7（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を閉 $m$ 次元多様体、 $k\ge1$ とする。滑らかな写像 $f\colon M\to S^k$ に Pontryagin 多様体の枠付き同境類を対応させる写像

\mathcal{P}\colon[M,S^k]\to\mathcal{F}_k(M),\qquad[f]\mapsto\bigl[(f^{-1}(y),f^*b)\bigr]

は、 $(y,b)$ と代表元 $f$ の取り方によらずに定まる全単射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 90 件、定義なども含めて 107 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致✓系 8.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性この先をたどる →
    固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性この先をたどる →
    埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性この先をたどる →
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性この先をたどる →
Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる✓補題 3.3・同境と Pontryagin–Thom 構成
- GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
- 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性
  - 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性この先をたどる →
  - 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性この先をたどる →
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性この先をたどる →
- 境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性
  - 境界は 1 次元低い多様体✓命題 4.4・ストークスの定理この先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
  - 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性（上で展開済み）
枠付き部分多様体は Pontryagin 多様体である✓補題 3.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成（上で展開済み）
積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 管状近傍の存在✓定理 3.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性（上で展開済み）
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 部分集合の近くでの単射性✓補題 3.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
同じ Pontryagin 多様体をもつ写像はホモトピック✓補題 3.6・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Hopf の写像度定理（一般の定義域）✓系 4.1・同境と Pontryagin–Thom 構成

Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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