数学 › 微分位相 › 同境と Pontryagin–Thom 構成

Hopf の写像度定理（一般の定義域）

系 4.1（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 141 件、定義なども含めて 165 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性

  • 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性

    • 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル この先をたどる →
    • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
    • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  • 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性

    • R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性 この先をたどる →
    • 局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性 この先をたどる →
    • 中間値の定理✓定理 6.1・連結性 この先をたどる →
  • 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性

    • 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性（上で展開済み）
    • 分離と連結性定義 2.1・連結性
    • コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性 この先をたどる →
    • ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
• Hopf の写像度定理✓系 6.2・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理

  • 写像度の基本性質✓命題 5.2・胞体ホモロジーと写像度

    • ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
    • 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー この先をたどる →
    • ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
    • 固定点をもたない球面の自己写像は対心写像とホモトピック✓補題 8.3・特異ホモロジー この先をたどる →
  • GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  • $π_n(S^n) = ℤ$✓系 6.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理

    • 写像度は準同型✓命題 5.1・ホモトピー群とファイブレーション この先をたどる →
    • 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • 球面の低次ホモトピー群✓命題 2.6・ホモトピー群とファイブレーション この先をたどる →
    • Hurewicz の定理✓定理 5.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理 この先をたどる →
    • 写像度定義 5.1・胞体ホモロジーと写像度
    • 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー この先をたどる →
• Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合）✓定理 3.7・同境と Pontryagin–Thom 構成

  • 滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致✓系 8.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

    • 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
  • Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
  • Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる✓補題 3.3・同境と Pontryagin–Thom 構成（上で展開済み）
  • 枠付き部分多様体は Pontryagin 多様体である✓補題 3.5・同境と Pontryagin–Thom 構成 この先をたどる →
  • 積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成 この先をたどる →
  • 同じ Pontryagin 多様体をもつ写像はホモトピック✓補題 3.6・同境と Pontryagin–Thom 構成 この先をたどる →
• 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

  • 分離と連結性定義 2.1・連結性
• GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
• Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる✓補題 3.3・同境と Pontryagin–Thom 構成

  • GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  • 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
  • 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性 この先をたどる →
  • 境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 向き付け不可能な場合✓系 4.2・同境と Pontryagin–Thom 構成

関連するノック 1 問

• 微分位相 第 38 問