数学 › 代数的位相幾何学 › 胞体ホモロジーと写像度

写像度の基本性質

命題 5.2（「胞体ホモロジーと写像度」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\deg(\mathrm{id})=1$ , $\deg(g\circ f)=\deg g\cdot\deg f$ 。同相写像の写像度は $\pm1$ 。
$f\simeq g$ なら $\deg f=\deg g$ 。定値写像の写像度は $0$ 。
座標 1 つの符号を反転する反射 $r$ の写像度は $-1$ 。
対心写像 $a(x)=-x$ の写像度は $(-1)^{n+1}$ 。
すべての $x$ で $f(x)\ne x$ なら $\deg f=(-1)^{n+1}$ 。すべての $x$ で $f(x)\ne-x$ なら $\deg f=1$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
- Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
  - 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー
    Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
    重心細分の鎖ホモトピー✓補題 5.1・特異ホモロジー
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - 変位レトラクト定義 2.6・基本群と被覆空間
ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
固定点をもたない球面の自己写像は対心写像とホモトピック✓補題 8.3・特異ホモロジー
- ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 3 件

毛玉の定理✓定理 6.3・胞体ホモロジーと写像度
Hopf の写像度定理✓系 6.2・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
局所微分同相の局所写像度✓補題 4.8・交点数と写像度

関連するノック 3 問