滑らかな近似（Whitney）

定理 8.1（「管状近傍・カラー・イソトピーの拡張」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を境界付き多様体（境界は空でもよい）、 $Y$ を境界のない多様体、 $f\colon X\to Y$ を連続写像、 $A\subset X$ を閉集合とし、 $f$ は $A$ のある開近傍 $O$ の上で滑らかであるとする（ $A=\varnothing$ でもよい）。

滑らかな写像 $g\colon X\to Y$ と連続なホモトピー $H\colon X\times[0,1]\to Y$ で、 $H_0=f$ 、 $H_1=g$ 、かつ $A$ のある開近傍の上で $H_t=f$ （すべての $t$ ）となるものが存在する。
$X$ に境界がなく、滑らかな写像 $f_0,f_1\colon X\to Y$ が連続なホモトピーで結べるならば、滑らかなホモトピーでも結べる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 80 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性
  - 接バンドルは 2n 次元多様体である✓定理 8.2・接ベクトル空間と接バンドル
    導分の空間の基底✓定理 5.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    三つの接空間の同値性✓定理 6.1・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理
  - はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性（上で展開済み）
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性（上で展開済み）
ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
- 法束は多様体✓補題 7.2・横断性
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性（上で展開済み）
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
- 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
  - 滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる✓補題 3.3・同境と Pontryagin–Thom 構成
単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
零点のないベクトル場の存在✓定理 7.7・交点数と写像度
滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致✓系 8.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

滑らかな近似（Whitney）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件